向量

几何直觉#

在平面上，向量是一支带方向的箭头。两支箭头首尾相接就是相加，把箭头拉长、缩短或反向就是数乘。

向量空间#

向量空间

设 是一个集合，配有加法 与数乘 。若对任意 与 ，交换律、结合律、零元、负元与分配律都成立，则称 是 上的向量空间。

最常见的例子是 ：分量逐个相加，逐个乘以同一个数。

线性组合#

线性组合

给定向量 与数 ，向量

称为 的一个线性组合。

全体线性组合构成的集合叫作这些向量的张成，记作 。

长度与内积#

中向量的长度由勾股定理给出：

两个向量的内积 满足 。

用代码验算

import math
 
def norm(v: list[float]) -> float:
    return math.sqrt(sum(x * x for x in v))
 
print(norm([3.0, 4.0]))  # 5.0

下一章用矩阵把线性组合写得更紧凑，见 矩阵 › 矩阵乘法。